373 Otro método para medir el número π

En primer lugar dibujamos en un folio un cuadrado de 8 cm de lado que tiene inscrito un círculo de 4 cm de radio. Podemos utilizar un trozo de cartulina para resaltar el círculo. Luego rellenamos el círculo con bolitas muy pequeñas. Yo necesité 636 bolitas para rellenar todo el círculo. Después continuamos añadiendo bolitas y rellenamos todo el cuadrado. Yo necesité otras 186 bolitas para completar todo el cuadrado (822 bolitas en total).

El número de bolitas necesarias para rellenar una de las figuras es proporcional al área de dicha figura. Por lo tanto. el cociente "bolitas dentro del círculo" entre "bolitas dentro del cuadrado" es una medida aproximada del cociente "área del círculo inscrito" entre "área del cuadrado" que es igual a  pi/4.

Si multiplicamos por 4 el número de bolitas dentro del círculo (636) y luego dividimos por el número de bolitas dentro del cuadrado (822) se obtiene un valor aproximado de π. Con 822 bolitas se obtiene un valor para pi de 3´09. Evidentemente se necesita un número de bolitas muy elevado para obtener una buena aproximación del número π .

372 Escalera hacia el cielo

Para realizar nuestro experimento necesitamos unos bajalenguas de madera (unos palitos planos de unos 15 cm de largo).

El objetivo del experimento es apilar los palitos formando una escalera de manera que algunos caigan fuera de la base de sustentación. La pila de palitos se mantendrá en equilibrio sin volcar siempre que la perpendicular que pasa por el centro de gravedad del conjunto caiga dentro de la base del primer palito (la base de sustentación del conjunto)

Veamos el procedimiento para apilar 11 palitos:

En primer lugar se marcan los palitos con las marcas 1/2, 1/4, 1/6, . . . , 1/22 de la longitud del palito. Luego se apilan los palitos unos sobre otros empezando por el que tiene la marca 1/22, luego se pone el palito que tiene la marca 1/20, etc. Cada palito sobresale una distancia igual a la marca del palito anterior. De esta manera se puede construir una pequeña escalera que se mantiene en equilibrio sin desmoronarse.

La serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... es una serie armónica divergente. En teoría, con un procedimiento similar, podemos apilar el número de palitos que queramos y formar una escalera hacia el cielo.

371 Centrifugadora manual

Con un trozo de cartón, cañitas de refresco, un palito de madera, una hoja de acetato transparente, pegamento y tijeras construimos nuestra centrifugadora manual (ver vídeo). Luego metemos unas bolitas pequeñas y agitamos para que la superficie quede horizontal.

Si hacemos girar la centrifugadora dando vueltas con los dedos al palito vemos que las bolitas se acumulan cerca de las paredes de la caja.

Explicación

Si la centrifugadora está en reposo, cada bolita experimenta dos fuerzas verticales que se compensan: el peso y la fuerza normal. Pero al girar la centrifugadora aparecen otras dos fuerzas horizontales opuestas: la fuerza centrífuga (hacia afuera) y la fuerza de rozamiento estático. La fuerza centrífuga aumenta con la velocidad de las bolitas y la fuerza de rozamiento estático puede crecer hasta un valor máximo.

Centrífuga quiere decir que "huye del centro". En realidad la fuerza centrífuga no es una verdadera fuerza ya que no corresponde a una inteacción. Sus efectos son causados por la inercia.

Al girar la centrifugadora las bolitas describen un círculo alrededor del eje de rotación pero no todas tienen la misma velocidad. Las bolitas que están cerca del eje recorren un círculo pequeño y tienen poca velocidad. Las bolitas que están más alejadas del eje de rotación recorren en el mismo tiempo una distancia mayor y tienen, por tanto, mayor velocidad..

Para una cierta velocidad de giro las bolitas alejadas del centro salen impulsadas hacia las paredes del recipiente al superar la fuerza centrífuga a la fuerza de rozamiento.