383 Comprobación del Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los otros dos lados del triángulo).

El Teorema de Pitágoras se puede expresar de otra forma: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Con unas fichas de dominó y un triángulo rectángulo se puede hacer un comprobación muy curiosa del Teorema de Pitágoras.

En primer lugar se dibuja un triángulo rectángulo y los correspondientes cuadrados construidos sobre los tres lados del triángulo. Los lados del triángulo rectángulo tienen 3, 4 y 5 unidades. Se tomará como unidad la mitad de una ficha de dominó. Luego se colocan las fichas de dominó sobre los cuadrados.

El cuadrado construido sobre el cateto de 3 unidades contiene 9 cuadrados.

El cuadrado construido sobre el cateto de 4 unidades contiene 16 cuadrados.

Y el cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene 25 cuadrados que es igual a la suma de 9 +16.

373 Otro método para medir el número π

En primer lugar dibujamos en un folio un cuadrado de 8 cm de lado que tiene inscrito un círculo de 4 cm de radio. Podemos utilizar un trozo de cartulina para resaltar el círculo. Luego rellenamos el círculo con bolitas muy pequeñas. Yo necesité 636 bolitas para rellenar todo el círculo. Después continuamos añadiendo bolitas y rellenamos todo el cuadrado. Yo necesité otras 186 bolitas para completar todo el cuadrado (822 bolitas en total).

El número de bolitas necesarias para rellenar una de las figuras es proporcional al área de dicha figura. Por lo tanto. el cociente "bolitas dentro del círculo" entre "bolitas dentro del cuadrado" es una medida aproximada del cociente "área del círculo inscrito" entre "área del cuadrado" que es igual a  pi/4.

Si multiplicamos por 4 el número de bolitas dentro del círculo (636) y luego dividimos por el número de bolitas dentro del cuadrado (822) se obtiene un valor aproximado de π. Con 822 bolitas se obtiene un valor para pi de 3´09. Evidentemente se necesita un número de bolitas muy elevado para obtener una buena aproximación del número π .

365 Teorema de Pitágoras demostración

Para realizar nuestro experimento necesitamos un folio, regla, lápiz, cañitas de refresco, pegamento y bolas pequeñas.

Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los otros dos lados del triángulo rectángulo).

El Teorema de Pitágoras se puede expresar de otra forma: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Veamos un experimento muy sencillo para comprobar que dichas áreas son iguales.

360 Paradoja del cuadrado perdido

Para realizar nuestro experimento necesitamos folios de colores, regla y tijeras.

En primer lugar recortamos cuatro piezas:

Pieza 1: Un triángulo rectángulo de base 8 y altura 5.

Pieza 2: Otro triángulo rectángulo de base 5 y de altura 2.

Pieza 3: Un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le faltan 2 cuadrados.

Pieza 4: Otro rectángulo de base 5 y altura 2 al que le faltan 3 cuadrados.

Con las cuatro piezas podemos construir dos figuras con forma de triángulo rectángulo de base 13 y altura 5 pero en uno de los triángulos (figura 2) falta un cuadrado.

Explicación

En realidad las dos figuras que se obtienen con las cuatro piezas no son triángulos rectángulos. Con una regla podemos ver que en los dos casos la supuesta hipotenusa no es una línea recta y que está formada por dos líneas que tienen una pendiente ligeramente distintas. Por superposición podemos ver que las dos piezas con forma de triángulo rectángulo no tienen el mismo ángulo.

Las dos figuras formadas con las cuatro piezas tienen que tener el mismo área. Si superponemos el primer "triángulo rectángulo" sobre el segundo (al que le falta el cuadrado) vemos que queda sin cubrir una parte. La diferencia no es muy grande pero se corresponde con el área del cuadrado que falta.